Résoudre un système avec la méthode LU

Énoncé
Dans cet exercice, on voudrait résoudre le système  $(S)\{\begin{array}{l}-x+2y+3z+4t=10\\ -2x+6y+7z+6t=20\\ -x+6y+6z+t=50\\ -3x+8y+11z+12t=100\end{array}$

On considère les matrices  $A=\left(\begin{array}{cccc}-1& 2& 3& 4\\ -2& 6& 7& 6\\ -1& 6& 6& 1\\ -3& 8& 11& 12\end{array}\right)$  et  $B=\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 50\\ 100\end{array}\right)$ .

1. On considère les matrices  $L=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 2& 1& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0\\ 3& 1& 1& 1\end{array}\right)$ et $U=\left(\begin{array}{cccc}-1& 2& 3& 4\\ 0& 2& 1& -2\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$ .
Vérifier que  $A=LU$ .

2. Résoudre le système  $LY=B$  d'inconnue  $Y$ .

3. Résoudre le système  $UX=Y$ .

4. Expliquer pourquoi on a résolu le système  $(S)$ .